明亮的星星在夜空中闪烁，不是所有的星星都一直在闪亮，有些星星的亮度会周期性地有节奏的变化，例如经过的行星或其它受恒星的拖曳，有的星星亮度则表现出随时间周期性地缓慢变化。
如何用数学的方法辨识、捕获与模型化这些星星亮度的周期性变化？过去一直很难处理。现在，数学家们办到了，开发了一种新型的数学方法与模型，可以通过数学方式描述星星亮度的周期性变化。
所开发出这种方法，可以将这种不断发展的周期性纳入数学上的“循环平稳随机过程”的框架。
循环平稳随机过程（cyclostationaryprocess）是一个信号具有随时间变化的周期性的统计特性，可以看作是多个交错的平稳过程。例如，可以将一个城市的每日最高温度建模为一个循环平稳过程：7月21日的最高温度在统计上不同于12月20日的温度；但是，可以合理估算出不同年份12月20日的温度具有相同的统计数据。因此，可以将由每日最高温度组成的随机过程视为个交错的平稳过程，每个过程每年都采用一个新值。
有两种不同的方法描述循环平稳过程：一种是概率方法将测量视为随机过程；一种是确定性方法将测量结果视为单个时间序列，从中可以将与时间序列相关联的某个事件的概率，分布定义为事件在时间序列的生存期内发生的时间比例。
在这两种方法中，当且仅当过程或时间序列的关联概率分布随时间周期性变化时，才称该过程或时间序列为循环平稳的。但是，在确定性时间序列方法中，有一个替代的但等效的定义：当且仅当存在一些非线性时不变变换时，不包含有限强度加法正弦波分量的时间序列才具有循环平稳性。
循环平稳信号的一个重要特殊情况是在二阶统计量（例如，自相关函数）中表现出循环平稳性。这些称为广义循环平稳信号，类似于广义平稳过程。确切定义会有所不同，具体取决于将信号视为随机过程还是确定性时间序列。
广义的循环平稳过程是一类重要的非平稳过程，其一阶和二阶矩具有周期性结构。该研究将广义上循环平稳性的概念，扩展到均值和协方差函数可能偏离严格的周期性和恒定振幅的过程。
具体来说，研究人员提出了一种新颖而灵活的过程类别，该过程类别允许均值和协方差函数的周期和幅度演化，因此，与经典的循环平稳过程相比，它可以容纳更大的过程类别。通过这一特性，通过使用合成信号和来自太空恒星发出的光的大小的物理信号，从而提供统计推断的方法。
要解释星星的亮度变化，除非它们随时间变化遵循规律，但这往往很难。在这项研究中，数学家创建了可以解释可变恒星亮度演化的方法，即使它偏离严格的周期性或恒定振幅。
经典的循环平稳过程随时间具有容易定义的变化，例如灯塔光束的扫掠或给定位置的太阳辐照度的年度变化。所谓“固定”是指周期性随时间变化的恒定性质，描述高度可预测的过程，例如旋转轴或灯塔光束。但是，当周期或幅度在许多周期中缓慢变化时，用于循环平稳过程的数学描述会失效。
数学家称这种新的描述方式为“周期和振幅循环平稳过程”，英文：EvolvingPeriodandAmplitudeCyclostationary，缩写：EPACS。该模型方式比传统的循环平稳流程更为灵活，因此可以将它们用于对各种现实生活场景进行建模。
数学家运用他们的方法对可变恒星长蛇座R发出的光进行了建模，该恒星在年至年之间的时间从天减少到天。该数学方法表明，该恒星具有不断发展的周期和幅度相关结构，这在以前是没有的。
长蛇座R的星等变化从3.21等至11.00等，周期缓慢的变化。在最大亮度时，我们可以在夜晚肉眼看见，而在最暗时至少要口径5公分的望远镜才能看见。长蛇座R与地球的距离大约是2,光年。
数学家通过将非平稳周期和振幅定义为随时间变化的函数来建模。为此，他们扩展了循环平稳过程的定义，以更好地描述变量之间的关系，例如变量恒星的亮度和周期性周期。然后，他们使用一种迭代方法来细化关键参数，以使模型适合于所观察到的过程。
这一数学方法将周期和振幅循环平稳过程与经典的循环平稳理论联系起来，因此，对振幅循环平稳过程进行拟合，使得可以将现有方法用于循环平稳过程。
这个数学模型的方法还可以应用于类似的可变现象，例如气候、环境计量学、和如对于预测太阳能量获取有用的太阳辐照度的描述。
参考：